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试析金融数学中关于期权定价的问题

   发布时间:2017-10-29   [点击量:445]  


摘要:本文对数学金融之中规划的期权定价问题进行扼要的叙说,经过对商场中的债券模型、股票模型以及一般模型进行下手剖析,最终对期权定价办法加以必定的评论,以期对相关的研讨人员有所参考价值。

 

关键词:金融数学;债券模型;股票模型;期权定价;股票商场

 

前语:

报率,σ(·)是价格动摇。若 n≥d 且 σ(t)为满秩,这样的[3]金融数学主要是指使用数学理论与办法对金融经济之中的运转规则加以研讨德一门新式的学科, 其也被称作数理金融学。 期权主要是购买方在付出必定定金给出售方后, 具有在约好日期中依据既定价格购买与出售产品方面的财物权力。

1 商场方面的简略描绘

(1)债券模型

假定X0(t)是债券处于t时间的价格, h>0, 设那么X0(t+h)-X 0 (t)就是时间区间[t,t+h]得到的报答,所以

r是时间区间[t,t+h]内单位时间中的具有相对报答率,也就是一般所说的利率。假定t是年头,而t+1是年底,年头时的债券价格是X0(t)=P,P为本金,而年底时的债券价格是X0(t+1)=A,A为本金加利息,那么上式便可以转换成r=(A-P)/P,则A=P(1+r) ,其是一个线性的常微分方程,rt该方程的解是X0(t)=X0(0)e ,因而可将(1)式改换成为X0(t+h)-X0(t)=rX0(t)h>0,由此可以看出X0(t+h)一直比X0(t)要大, 也就是说债券价格永久跟着时间的推移而逐步的[1]添加,所以说债券没有危险。

(2)股票模型

股票模型和债券比较有着非常大的差异, 假定X(t)是某股票处于t时间的价格, 依据债券评论的办法对其进行剖析,相同对时间区间是[t,t+h]作为研讨方针。因而,可以将公式X(t+h)-X(t)=rX(t)h>0变 换 成 为 如 下 式 :X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+ση(t+h)],其间b称作均匀报答率;σ 称作价格动摇性;η(t+h)为归一化噪声。上式既可以是正也可以是负,所以无法保证X(t+h)一直比X(t)要大。所以说股 票 使 存 在 一 定 危 险 性 的 。 在X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+ση(t+h)]中的 η(t+h)一般是由于很多出资者进行独立出资行为导致的。因而,η(t+h)为一个满意正态分布N(O,h)办法的随机变量,其间均值是O,均方差是h。 假如将W(t)作为到时间t时所累积的悉数噪声, 那么其刚好满意布朗运动,选用其进行记号,可以使公式改换成为X(t+h)-X(t)=X(t)[bh+σ[W(t+h)-W(t)],令 h→0,可以得到 dX(t)=bX(t)dt+σX(t)dW(t),其间t∈[0,T],这是就是bt+σW(t) [2]一个随机微分方程,其解是X(t)=xe,t∈[0,T] 。

(3)一般景象

假定存在n+1种财物一直在商场中进行接连买卖,将上述财物进行由0到n编号,假定第0中为债券,其他n种是股票。假定第i中财物处于时间t时的价格是Xi(·),依据

上述评论办法对其进行评论,那么

其间 W(·)≡(W1(·),···,Wd(·)) ,其是一个d维的规范布朗运动,界说在某一完好的带滤子办法的概率空间(ω,F,{Ft}t≥0,P)中,使{Ft}t≥0 是 W(·)天然生成 σT域具有的齐备化。 其间 b(·)= b1(·), (···,(·)), bnσ(·)=(σij(·))n×d,其间 r(·)是利率,b(·)是股票回商场便称作是齐备的,要不然就是不齐备的。

2 期权定价办法

假如某一商场之中只要一种股票与一种债券处于上市状况,其价格契合下列方程:

 

 

其间X0(t)为债券价格,X(t)为股票价格,b(t)为股票报答率,σ(t)为价格动摇性。

下面临欧式买入期权加以评论,这是一种合同办法,凭此可以在提早设定的时间T、价格q前来对给定股票进行购买,将其间的T称为履行时间,q称为履行价格。可以轻易地看出,当抵达时间T时,会呈现两种状况,即一种是假如t=T,X(T)>q,那么具有期权者将会对其权益进行质施行,也就是用价格q来对这只股票进行购买,之后当即将其以价格X(T)加以兜售,然后完成赢利为X(T)-q。另一种就是假如X(T)

 

 

怎么进行期权价格的断定就是本文要研讨的要点内容。假定处于t=0时间时的期权价格是y,由于期权出售者处于t=T时间将会丢失(X(T)-q),那么就要将出售期权取得的y进行商场出资来对丢失加以补偿。当t=0时间将y悉数出资在商场中后,其总财物便会随同时间的推动而呈现改变,计作Y(t),所以Y(0)=y,出资者希望的方针是处于时间T+时可以到达Y(T)>(P(T)-q)。假如在时间t使其将Y(t)换分红两部分, 出资股票的为 π(t), 另一部分出资于债券,那么简略得出,当 π(·)为固定值时,此刻总财物之中的债券与股票所占的比例就是断定的,将 π(·)称作证券组合。进行必定的简略推倒必能得到 Y(·)契合下式:

 

 

 

其间,现已假定 σ(t)≠0,并界说 Z(t)=σ(t)π(t),[4]假如y越大选用同种出资办法所能得到的Y(T)也会越大。

3 结语

关于金融业开展而言,金融期权不只可以对金融危险加以有用的搬运,并且可以对很多的出资者资金加以维护,使出资者可以一直处于盈余状况,因而金融期权则是一种极好的金融立异东西,可是期权定价模型一直一个要点的研讨内容,对此本文的探析有着必定的学习效果。

参考文献

[1]崔连香.浅论数学金融学中关于期权定价的问题[J].金融经济,2012,12(12):135-136.

[2]徐蕾,邓国和.随机动摇率模型下欧式回望期权定价[J].广西师范大学学报(天然科学版),2015,03(03):79-90.

[3]袁国军,肖庆宪.根据近似对冲跳动危险的期权定价[J].系统工程,2013,03(03):15-20.

[4]高俊科.B-S期权定价模型中使用接连复利存在的问题[J].金融经济,2014,02(02):120-122. 

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